БАНКИ и ФИНАНСЫ www.buzdalin.ru

www.buzdalin.ru
www.prognoz.4u.ru

Home
Новости сайта

   IR

   БАНКИ

   РИСКИ

   РЫНКИ

   прочее

   КОЛЛЕГИ

 

Автор проекта Алексей Буздалин
А.В. БУЗДАЛИН

   биография
   публикации

 +7 495 9912238 A@Buzdalin.ru


 

 

Математика в финансах

 

Расчеты в финансах всегда связаны с применением математических методов, использованием численной информации. Само слово “расчеты” предполагает использование некоторых формальных математических конструкций для получения желаемых характеристик процесса или явления. Развитие науки дает новые методы, которые позволяют решать известные задачи быстрее, эффективнее, точнее, а, кроме того, и ставить гораздо более сложные проблемы. Новые методы проникают в прикладные области знания, которые, в свою очередь, обогащают теорию новыми постановками проблем и вопросов.

 

Согласно современным воззрениям ([1]) теория финансов, финансовая инженерия, финансовая математика призваны анализировать свойства финансовых структур, функционирующих в условиях неопределенности, и исследовать вопросы о наиболее рациональных способах управления финансовыми ресурсами на фондовом рынке (другое название—рынке ценных бумаг) с учетом факторов времени, риска, случайного характера окружающей среды.

 

Начальные теории функционирования финансовых рынков в основе своей содержали гипотезу справедливой игры случая, или “мартингалов”. Идея того, что цены можно моделировать при помощи вероятностей, восходит к работе Л.Башелье (1900). Напомним, что и сама теория вероятности “вышла” из теории азартных игр. На вопрос ценообразования тогда смотрели с точки зрения игрока казино---способен ли индивидуум выиграть, предсказав каким-либо образом будущее значение цены. При этом о структуре поведения участников рынка делалась лишь одна гипотеза о том, что рынки движутся “животными инстинктами” (“animal spirits”).

 

Зарождение теории финансов в современном ее понимании принято относить к 20-м годам настоящего столетия. Соответствующая “математика” тогда сводилась, по существу, к “арифметике” сложных процентов и подсчету рентных платежей.

Последующее развитие теории шло в двух направлениях---в предположении условий полной определенности и условий неопределенности.

В первом случае определяющую роль сыграли работы И.Фишера (1930) и Ф.Модильяни и М.Миллера (1958, 1961, 1963), рассмотревших вопросы оптимальных решений для индивидуумов и фирм соответственно. С математической точки зрения дело сводилось к задаче максимизации функций многих переменных при наличии ограничений.

Во втором случае классической является работа Г.Марковитца (1952), посвященная проблеме составления рационального портфеля ценных бумаг, обеспечивающего максимальный средний доход при ограничении на величину риска, измеряемого дисперсией портфеля. Соответствующий вероятностный анализ получил название анализ “среднее-вариация”.

Следующим этапом стали работы В.Шарпа (1964), Дж.Линтнера (1965) и Дж.Моссина (1966), в которых развитие идей и методов Г.Марковица получили свое воплощение в широко известной модели CAPM (Capital Asset Pricing Model), призванной объяснить, как инвесторы действуют на рынке, находящемся в равновесном состоянии. В основе теории CAPM лежит гипотеза эффективного рынка, которая была выдвинута еще в работах М.Кендалла (1953), Г.Робертса (1959), М.Осборна (1959). “Эффективность” здесь означает то, что рынок рационально реагирует на поступающую информацию в том смысле, что на рынке:

-        мгновенно производится коррекция цен, которые устанавливаются так, что оказываются в состоянии “равновесия”, не оставляя места возможностям для арбитража;

-        участники рынка однородно интерпретируют поступающую информацию, при этом мгновенно корректируют свои решения при обновлении этой информации;

-        участники рынка однородны в своих целевых установках, их действия носят “коллективно-рациональный” характер.

 

Концепция эффективного рынка продолжает играть доминирующую роль в финансовой теории по сегодняшний день. Основное ее предположение состоит в том, что значение цены “сегодня” установилось так, что оно полностью учло всю доступную информацию, а изменение цены происходит только в результате обновления этой информации.

В последующих работах С.Росса (1976) и Р.Ролла и С.Росса (1980) для описания равновесности состояния рынка были привлечены идеи арбитража (т.е. возможности получения прибыли без риска). Соответствующая теория, объясняющая поведение инвесторов, известна как модель APM (Arbitrage Pricing Model) и включает CAPM как частный случай. Основная идея этой теории состоит в том, что рынок, находящийся в равновесном состоянии не должен допускать арбитражных ситуаций.

 

В последние десятилетия гипотеза эффективного рынка подвергается справедливой критике---из нее следует, что будущее значение цены не может быть спрогнозировано исходя из прошлых значений. Тем самым не учитывается экономическая и фундаментальная информация, присутствующие на рынке, что сразу ставит под сомнение применение какого бы то ни было технического анализа к исследованию рынка. Между тем последний широко (и подчас весьма успешно) используется многими участниками рынка. Кроме того, если исходить из того, что всякая информация оказывает одно и то же воздействие на всех инвесторов, то на рынке не было бы ликвидности: после поступления новой информации инвесторы пытались бы совершить сделку по одной цене. Но инвесторы по своей природе неоднородны в своих целевых установках---некоторые из них должны совершать сделки и приносить прибыль каждый день, некоторые должны просто выполнять свои текущие обязательства (которые, вполне вероятно, не возникнут в будущем). Фактически, каждый участник рынка имеет свой инвестиционный горизонт и для каждого важна своя информация, поступающая на рынок.

 

Альтернативой к гипотезе эффективного рынка является гипотеза фрактального (дробного) рынка. Основы фрактальной теории рынка были заложены в работах Г.Харста (1951) и Б.Мандельброта (1965), а развитый в их работах статистический метод носит название R/S-анализ (Rescaled range analysis). Под гипотезой фрактального рынка понимается следующее:

-           участники рынка неоднородно интерпретируют поступающую информацию в зависимости от присущего каждому участнику инвестиционного горизонта;

-           в каждый момент времени цены на рынке корректируются инвесторами в зависимости от той информации, которая существенна для их инвестиционного горизонта;

-           цены в каждый момент времени отображают взаимодействие “краткосрочных” и “долгосрочных” инвесторов.

 

Выдвижение гипотезы фрактального рынка способно объяснить феномен стабильности рынка, которая обеспечивается наличием на нем множества инвесторов с различными инвестиционными горизонтами. Так, когда трейдер с горизонтом 5 минут сталкивается с событием необычайно резкого изменения цены, на рынок выходит участник с более длинным инвестиционным горизонтом и стабилизирует рынок, “абсорбирует турбулентность”. Когда не находится инвестора, способного стабилизировать рынок (все инвесторы стали иметь либо короткий инвестиционный горизонт, либо прекратили свое участие на рынке в силу того, что фундаментальная информация поменялась или стала неясной), рынок переходит в фазу “свободного падения”---происходит не просто движение цен вниз, а возникают целые “дыры” между ценами ближайших сделок. Подобные явления можно было наблюдать и в момент кризиса 1987 г. на фондовом рынке США, когда инвесторы, обескураженные ужесточением монетарной политики Федерального Казначейства, поменяли свои фундаментальные предпочтения выбросив на рынок слишком большое количество акций, и в кризисе 1998 г. в России, когда “толпа” инвесторов стала сбрасывать ГКО, после того как с рынка “ушли” и “краткосрочные”, и “долгосрочные” инвесторы вследствие неясности относительно динамики обменного курса рубль/доллар в ближайшей перспективе.

 

Начиная с 70-х годов происходит беспрецедентное повышение интереса к углубленному изучению финансовых рынков и, в частности, рынка ценных бумаг с помощью математических методов. Связано это с несколькими событиями. Наиболее значительными среди них явились, с одной стороны, радикальные изменения финансового рынка: отказ от фиксированного обменного курса валют, отказ от фиксированной цены в долларах на золото, всемирный нефтяной кризис. В результате рынок быстро среагировал на новые возможности для инвесторов, получивших простор для трейдинга, принятия решений, что, в свою очередь, привело к сильной изменчивости цен акций, процентных ставок, обменных курсов, индексов.

С другой стороны, оптимизационные методы, математический аппарат, получившие особенно стремительное развитие примерно в это же время, позволили решать задачи управления в условиях полной или частичной неопределенности, хаотичности. Участники рынка сегодня ставят задачу не только и не столько выиграть, но и, прежде всего, много не проиграть. Решение вопросов защиты инвесторов от возможных катастрофических убытков потребовало углубленного (макро- и микро- ) анализа стохастики, статистики и динамики рыночных показателей, а также построения адекватных математических моделей. Результатом этого стало появление математических методов управления для целого сектора финансового рынка---производных ценных бумаг (опционов, фьючерсов, свопов и т.д.).

 

Развитие информационных технологий завершило своеобразный “переворот” в методах управления современными рыночными инструментами. В настоящее время невозможно представить себе финансовую деятельность без современного электронно-информационного обеспечения, быстродействующих компьютеров и иных средств коммуникации. Современные финансовые рынки настолько высокотехнологичны, что финансист, работающий в режиме реального времени на рынке Нью-Йорка или Лондона в большей степени инженер, математик, технолог и программист, чем финансовый работник в традиционном понимании, каким оно было 50-60 лет назад.

 

В финансовой математике принято различать следующие основные объекты и структуры (см., напр., [2]): индивидуумы и фирмы; посреднические структуры и собственно рынки ценных бумаг, служащие для осуществления операционных функций.

 

·       Индивидуумы---это лица, основная финансовая деятельность которых подчинена решению проблемы “потребление—инвестиции”.

·       Фирмы, в отличие от индивидуумов, работают как на фондовом, так и на товарном рынках и, вследствие этого, решают задачи не только оптимального размещения свободных финансовых средств, но и задачи их наилучшего привлечения с целью организации производства. Управление деятельностью фирмы, как правило, ориентировано на удовлетворение интересов держателей акций.

·       Посреднические структуры---это коммерческие и инвестиционные банки, взаимные фонды, страховые компании и т.д. Посреднические структуры выполняют различные финансовые услуги такие, например, как клиентское обслуживание индивидуумов и фирм, предоставление займов, кредитов, продажа страховых контрактов и т.д.

·       Рынки ценных бумаг осуществляют торговлю и обмен стандартизированными ценными бумагами, такими как облигации, акции, опционные и фьючерсные контракты. Помимо операционных функций, рынки ценных бумаг осуществляют важнейшую роль источников информации на цены различных инструментов фондового рынка.

 

Индивидуумы, фирмы и посреднические структуры, оперирующие на фондовом рынке, в результате решения своих задач приходят к решению купить или продать те или иные ценные бумаги. Любые ценные бумаги, торгуемые на фондовом рынке, будем называть инструментами фондового рынка.

 

Инструменты фондового рынка бумаг принято разделять на две группы: основные ценные бумаги и производные ценные бумаги. Отличие производных ценных бумаг от основных заключается в том, что производный инструмент---это специальный контракт на приобретение других инструментов фондового рынка. Основные ценные бумаги делятся, в свою очередь, на долговые обязательства---облигации и долевые---акции.

Иногда бывает сложно отнести ту или иную ценную бумагу к разряду или основных или производных. Например, конвертируемая облигация имеет черты и основной, и производной ценной бумаги, поскольку предоставляет держателю право трансформирования ее в акцию.

 

Индивидуумы, фирмы и посреднические структуры, оперирующие на фондовом рынке, выступают в роли инвесторов---субъектов фондового рынка. В зависимости от целей и степени финансового риска инвестиций принято разделять субъектов фондового рынка на спекулянтов, арбитражеров и хеджеров.

 

Инвестор называется спекулянтом, если его целью является извлечение выгоды, связанное с каким угодно большим или малым, но риском потерь. Спекулятивные интересы проявляют инвесторы, играющие на динамике курса какой-либо ценной бумаги. Традиционно играющих на повышение называют “быками”, а играющих на понижение курса---“медведями”.

 

На фондовом рынке практически всегда имеется возможность реализовать операцию, свободную от риска потерь. В простейшем случае, это игра на разнице цен одного и того же актива в различных местах торгов. Инвесторы, получающие прибыль на безрисковых операциях, называются арбитражерами.

 

Инвестор, стремящийся застраховать себя от потерь, вызванных нежелательным изменением курса актива, называется хеджером. Классический пример хеджа связан с задачей управляющего портфелем активов, стремящегося не допустить падения его стоимости ниже определенной границы.

 

Таким образом, арбитражные операции не имеют финансового риска, хеджирующие операции ограничивают его, а спекулятивные операции подвержены финансовому риску в полной мере. Следует отметить, что тактические цели спекулянтов, арбитражеров и хеджеров, связанные с куплей-продажей в каждый момент времени отличаются. Поэтому на развитом фондовом рынке всегда имеется возможность купить или продать. Инструмент считается ликвидным, если в каждый момент времени имеется возможность приобрести или продать любое разумное его количество.

 

В настоящее время для успешной работы на фондовом рынке инвестор должен уметь решать целый ряд задач. Во-первых, это технический анализ рыночной конъюнктуры, позволяющий определить тенденции развития фондового рынка. Во-вторых, это задачи расчета справедливой цены фондовых инструментов, что позволяет выделять среди них “дешевые” и “дорогие”. И, в третьих, это задачи оптимального формирования и управления портфелем ценных бумаг, обеспечивающего или максимальный доход при приемлемой степени риска, или гарантирующего заданный терминальный объем капитала (например, хеджирование опционных контрактов).

 

Технический анализ, предназначен для изучения состояния рынка, прогнозирования тенденций динамики цен и объемов, оценивания возможных прибылей и потерь. Помимо этого он позволяет предугадать наиболее вероятные переломные точки в движении цен фондового рынка. Существует множество средств технического анализа, но ни один известный метод не работает одинаково хорошо в любых ситуациях. Обычно выделяют некоторый набор основных индикаторов, каждый из которых на основе определенных предположений дает свой прогноз или оценку. При этом разные индикаторы могут указывать “в разные стороны”. Аналитик, интерпретируя индикаторы, использует их оценки и рекомендации при принятии инвестиционных решений. Процесс принятия решения, основываясь на методах технического анализа, является скорее искусством, умелое использование которого дает возможность верно оценить ситуацию и прогнозировать движение рынка в будущем.

 

Стандартная диаграмма, служащая основой технического анализа, включает в себя

два графика--график цен и график объема продаж. В биржевых торговых системах движение цен и объемов продаж обычно отображается в реальном времени или с очень небольшой задержкой, зависящей от параметров системы. Однако в техническом анализе, подразумевающем изучение ретроспективных данных, обычно интервалом дискретизации по времени служит один торговый день. На диаграмме цен движение цены в течение одного торгового дня изображается отрезком, нижняя точка которого соответствует минимальной цене сделки, верхняя--максимальной. Кроме того, штрихами на этом отрезке отмечают цены первой и последней сделки. Объемы продаж изображают в виде отрезков на другом графике, который принято размещать под графиком цен, так чтобы оба графика имели синхронную временную ось.

 

Не вдаваясь подробно в описание сути индикаторов, назовем некоторые их группы: это методы, основанные на усреднении ретроспективных данных; анализ объемов продаж; построение уровней сопротивления и поддержки; корреляционный анализ; анализ циклических процессов.

 

Расчет справедливой цены производных инструментов является центральной задачей анализа операций с их использованием. Для вычисления такой цены недостаточно только знания рыночной конъюнктуры, первоочередную роль здесь играет априорное предположение о правилах изменения цен---модели рынка. Наиболее популярной является диффузионная модель, известная так же как модель Блэка и Шоулса.

 

В частности при анализе опционных контрактов на акции, в рамках диффузионной модели предполагается, что капитал на банковском счете B и курс акции S изменяются согласно следующим дифференциальным уравнениям:

dB= r B dt,

dS = μ Sdt + σ SdW.

 

Здесь W = (W)--- винеровский процесс (броуновское движение), а числа r, μ и σ являются параметрами модели:

- r: процентная ставка банковского счета при “непрерывном начислении процентов”,

- μ: ставка роста курса акции,

- σ: волатильность (изменчивость, среднеквадратическое отклонение) курса акции.

 

Задача поиска справедливой цены опционного контракта сводится к вычислению сегодняшней стоимости будущей выплаты по этому контракту. Например, для опциона покупателя (call option)[1], функция выплат зависит от цены исполнения контракта K и будущей цены акции S на момент исполнения T:

f(S) = (S - K),

где запись aобозначает неотрицательную часть числа a.

 

Задача рационального управления портфелем может иметь множество приложений. В частности, если удается построить портфель, управляемый по некоторой стратегии так, что его конечная стоимость не меньше, чем выплаты по опционному контракту, то такой портфель будет хеджирующим.

 

С формальной точки зрения, портфелем вообще называется некоторая последовательность случайных величин (β,γ) = (β), где β и γ определяют количество “банковского счета” и акций в портфеле в момент времени t. Капитал портфеля (β,γ) описывается последовательностью X = (X) так, что

X = γ S + β B.

Величины β и γ определяют стратегию управления портфелем, которая решает следующие две задачи:

-Какое количество денег добавить или извлечь из портфеля?

-Каким образом распределить свой капитал X между акциями (рисковыми активами) и банковским счетом (безрисковым активом)?

 

Даже из этих простых постановок задач видна вероятностная составляющая, статистический “ингредиент” в задачах финансовой математики. Современные теории функционирования финансовых рынков основаны на последних результатах теории вероятностей и случайных процессов, теории оптимального стохастического управления, теории стохастической оптимизации и дают возможность управлять сложными процессами, максимально учитывая весь спектр поступающей информации, обработать которую человек не в состоянии просто ввиду ее невероятного объема. Достаточно отметить, что даже на небольшом российском рынке интенсивность торгов достигает тысячи операций в течение пяти минут. Без технологической, интеллектуальной поддержки, обращенной в форму компьютерных программ, адекватно реагировать на такой поток информации о ценах, объемах сделок, выставленных заявках не представляется возможным. Именно формальные математические методы, изощренный математический аппарат позволяют создавать автоматизированные системы поддержки принятия решений и обработки финансовой информации, работающие в режиме реального времени.

 

В заключение хотелось бы отметить, что на протяжении десятилетий в странах с развитой экономикой всегда уделялось огромное внимание использованию математики, формальных методов оптимизации в финансах и экономике. Стоит обратить внимание хотя бы на характер работ, по которым присуждались Нобелевские премии по экономике в последние десятилетия,---правильнее было бы сказать, что эти премии присуждались за привлечение математических методов в решение экономических задач.

В России, с ее неустоявшимися рыночными традициями, но с большим научным и интеллектуальным капиталом, есть и большая потребность, и большой потенциал в применении математических методов, необщепринятых подходов, нового взгляда на понимание “физики” рыночной стихии, оптимизации деятельности внутри и вне корпорации, формализацию и решение задач из нетрадиционных для математиков областей финансового дела.

 

 

С.Н. Волков

МИРАН

 

 

Литература:

 

[1] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1-2, Фазис, Москва, 1998.

[2] Ширяев А.Н. “О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики.”---Теория вероятн. и ее примен., 1994, т. 39, в. 1, с. 5—22.

 

 



[1] Напомним, что опционный контракт---это ценная бумага, представляющая собой стандартизированное соглашение двух сторон, одна из которых держатель --- имеет право купить или продать предмет контракта в заранее определенный срок по заранее известной цене, а другая сторона обязуется выполнить это требование. Опционы, дающие право купить, называются опционами покупателя, а дающие право продать---опционами продавца.